tag:blogger.com,1999:blog-15127347834512218342024-02-08T11:03:22.113-08:00tugas matematikatri wibowohttp://www.blogger.com/profile/17618476450508671587noreply@blogger.comBlogger2125tag:blogger.com,1999:blog-1512734783451221834.post-14121923927539122842010-11-29T05:06:00.001-08:002010-11-29T05:06:37.901-08:00tugas matematika<h1 class="firstHeading" id="firstHeading">Matematika</h1><div id="siteSub">Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas</div><div id="contentSub"><div class="flaggedrevs_short plainlinks noprint" id="mw-fr-revisiontag"><img alt="Perubahan tertunda ditampilkan di halaman ini" class="flaggedrevs-icon" src="http://id.wikipedia.org/w/extensions/FlaggedRevs/client/img/1.png" title="Perubahan tertunda ditampilkan di halaman ini" /><b><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bantuan:Validasi_halaman" title="Bantuan:Validasi halaman">Belum Diperiksa</a></b></div></div><div id="jump-to-nav">Langsung ke: <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#mw-head">navigasi</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#p-search">cari</a></div><div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width: 222px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Euclid.jpg"><img alt="" class="thumbimage" height="184" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Euclid.jpg/220px-Euclid.jpg" width="220" /></a><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Euclid.jpg" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Euklides" title="Euklides">Euklides</a>, matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Raffaello_Sanzio" title="Raffaello Sanzio">Raffaello Sanzio</a> di dalam detail ini dari <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sekolah_Athena" title="Sekolah Athena">Sekolah Athena</a></i>.<sup class="reference" id="cite_ref-0"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-0">[1]</a></sup></div></div></div><b>Matematika</b> (dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Yunani" title="Bahasa Yunani">bahasa Yunani</a>: <i>μαθηματικά</i> - <i>mathēmatiká</i>) adalah studi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Besaran" title="Besaran">besaran</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Struktur" title="Struktur">struktur</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang" title="Ruang">ruang</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">perubahan</a>. Para <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematikawan" title="Matematikawan">matematikawan</a> mencari berbagai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pola" title="Pola">pola</a>,<sup class="reference" id="cite_ref-1"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-1">[2]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-2"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-2">[3]</a></sup> merumuskan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Konjektur" title="Konjektur">konjektur</a> baru, dan membangun kebenaran melalui <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_deduksi" title="Metode deduksi">metode deduksi</a> yang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kekakuan_matematika" title="Kekakuan matematika">kaku</a> dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aksioma" title="Aksioma">aksioma-aksioma</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Definisi" title="Definisi">definisi-definisi</a> yang bersesuaian.<sup class="reference" id="cite_ref-3"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-3">[4]</a></sup><br />
Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan">bilangan</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Titik_%28geometri%29" title="Titik (geometri)">titik</a> hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Benjamin_Peirce" title="Benjamin Peirce">Benjamin Peirce</a> menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".<sup class="reference" id="cite_ref-4"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-4">[5]</a></sup> Di pihak lain, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."<sup class="reference" id="cite_ref-certain_5-0"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-certain-5">[6]</a></sup><br />
Melalui penggunaan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Penalaran" title="Penalaran">penalaran</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika" title="Logika">logika</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Abstraksi_%28matematika%29" title="Abstraksi (matematika)">abstraksi</a>, matematika berkembang dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pencacahan" title="Pencacahan">pencacahan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulasi" title="Kalkulasi">perhitungan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pengukuran" title="Pengukuran">pengukuran</a>, dan pengkajian sistematis terhadap <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bangun_%28geometri%29" title="Bangun (geometri)">bangun</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Gerak" title="Gerak">pergerakan</a> benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_matematika" title="Sejarah matematika">rekaman tertulis</a>. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika" title="Logika">Argumentasi kaku</a> pertama muncul di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_Yunani" title="Matematika Yunani">Matematika Yunani</a>, terutama di dalam karya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Euklides" title="Euklides">Euklides</a>, <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Elemen_Euklides" title="Elemen Euklides">Elemen</a></i>. Matematika selalu berkembang, misalnya di <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Cina" title="Cina">Cina</a> pada tahun 300 <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sebelum_Masehi" title="Sebelum Masehi">SM</a>, di <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/India" title="India">India</a> pada tahun 100 <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Masehi" title="Masehi">M</a>, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Renaisans" title="Renaisans">Renaisans</a>, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Penemuan_ilmiah&action=edit&redlink=1" title="Penemuan ilmiah (halaman belum tersedia)">penemuan ilmiah</a> baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.<sup class="reference" id="cite_ref-6"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-6">[7]</a></sup><br />
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_alam" title="Ilmu alam">ilmu alam</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teknik" title="Teknik">teknik</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kedokteran" title="Kedokteran">kedokteran</a>/<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Medis" title="Medis">medis</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_sosial" title="Ilmu sosial">ilmu sosial</a> seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomi" title="Ekonomi">ekonomi</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Psikologi" title="Psikologi">psikologi</a>. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_terapan&action=edit&redlink=1" title="Matematika terapan (halaman belum tersedia)">Matematika terapan</a>, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika" title="Statistika">statistika</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_permainan" title="Teori permainan">teori permainan</a>. Para matematikawan juga bergulat di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_murni" title="Matematika murni">matematika murni</a>, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.<sup class="reference" id="cite_ref-7"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-7">[8]</a></sup><br />
<table class="toc" id="toc"><tbody>
<tr><td><div id="toctitle"><h2>Daftar isi</h2><span class="toctoggle">[<a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#" id="togglelink">sembunyikan</a>]</span></div><ul><li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Etimologi"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Etimologi</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Sejarah"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Sejarah</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Ilham.2C_matematika_murni_dan_terapan.2C_dan_estetika"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Notasi.2C_bahasa.2C_dan_kekakuan"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Notasi, bahasa, dan kekakuan</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Matematika_sebagai_ilmu_pengetahuan"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Matematika sebagai ilmu pengetahuan</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Bidang-bidang_matematika"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Bidang-bidang matematika</span></a><ul><li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Besaran"><span class="tocnumber">6.1</span> <span class="toctext">Besaran</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Ruang"><span class="tocnumber">6.2</span> <span class="toctext">Ruang</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Perubahan"><span class="tocnumber">6.3</span> <span class="toctext">Perubahan</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Struktur"><span class="tocnumber">6.4</span> <span class="toctext">Struktur</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Dasar_dan_filsafat"><span class="tocnumber">6.5</span> <span class="toctext">Dasar dan filsafat</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-12"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Matematika_diskret"><span class="tocnumber">6.6</span> <span class="toctext">Matematika diskret</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-13"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Matematika_terapan"><span class="tocnumber">6.7</span> <span class="toctext">Matematika terapan</span></a></li>
</ul></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Lihat_pula"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Lihat pula</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Catatan"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Catatan</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Referensi"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Referensi</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-17"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#Pranala_luar"><span class="tocnumber">10</span> <span class="toctext">Pranala luar</span></a></li>
</ul></td></tr>
</tbody></table><h2><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=1" title="Sunting bagian: Etimologi">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Etimologi">Etimologi</span></h2>Kata "matematika" berasal dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Yunani_Kuno" title="Bahasa Yunani Kuno">bahasa Yunani Kuno</a> μάθημα (<i>máthēma</i>), yang berarti <i>pengkajian</i>, <i>pembelajaran</i>, <i>ilmu</i>, yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (<i>mathēmatikós</i>), <i>berkaitan dengan pengkajian</i>, atau <i>tekun belajar</i>, yang lebih jauhnya berarti <i>matematis</i>. Secara khusus, <span class="polytonic" lang="grc" style="font-family: Athena,Gentium,Palatino Linotype,Arial Unicode MS,Lucida Sans Unicode,Lucida Grande,Code2000;">μαθηματικὴ τέχνη</span> (<i>mathēmatikḗ tékhnē</i>), di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latin" title="Bahasa Latin">bahasa Latin</a> <i>ars mathematica</i>, berarti <i>seni matematika</i>.<br />
Bentuk jamak sering dipakai di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Inggris" title="Bahasa Inggris">bahasa Inggris</a>, seperti juga di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Perancis" title="Bahasa Perancis">bahasa Perancis</a> <i>les mathématiques</i> (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal <i>la mathématique</i>), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral <i>mathematica</i> (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Cicero" title="Cicero">Cicero</a>), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (<i>ta mathēmatiká</i>), yang dipakai <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aristotle" title="Aristotle">Aristotle</a>, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".<sup class="reference" id="cite_ref-8"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-8">[9]</a></sup> Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda <i>mathematics</i> mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai <i>math</i> di Amerika Utara dan <i>maths</i> di tempat lain.<br />
<h2><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=2" title="Sunting bagian: Sejarah">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Sejarah">Sejarah</span></h2><div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width: 222px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Quipu.png"><img alt="" class="thumbimage" height="330" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Quipu.png/220px-Quipu.png" width="220" /></a><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Quipu.png" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>Sebuah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Quipu" title="Quipu">quipu</a>, yang dipakai oleh <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kekaisaran_Inca" title="Kekaisaran Inca">Inca</a> untuk mencatatkan bilangan.</div></div></div><div class="dablink noprint"><img alt="!" height="20" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Crystal_Clear_app_xmag.png/20px-Crystal_Clear_app_xmag.png" width="20" />Artikel utama untuk bagian ini adalah: <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sejarah_matematika" title="Sejarah matematika">Sejarah matematika</a></div><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Evolusi" title="Evolusi">Evolusi</a> matematika dapat dipandang sebagai sederetan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Abstraksi_%28matematika%29" title="Abstraksi (matematika)">abstraksi</a> yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang<sup class="reference" id="cite_ref-9"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-9">[10]</a></sup>, adalah tentang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan">bilangan</a>: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.<br />
Selain mengetahui cara <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pencacahan" title="Pencacahan">mencacah</a> objek-objek <i>fisika</i>, manusia <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Prasejarah" title="Prasejarah">prasejarah</a> juga mengenali cara mencacah besaran <i>abstrak</i>, seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Waktu" title="Waktu">waktu</a> — <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hari" title="Hari">hari</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Musim" title="Musim">musim</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tahun" title="Tahun">tahun</a>. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aritmetika_dasar&action=edit&redlink=1" title="Aritmetika dasar (halaman belum tersedia)">Aritmetika dasar</a> (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Penjumlahan" title="Penjumlahan">penjumlahan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pengurangan" title="Pengurangan">pengurangan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perkalian" title="Perkalian">perkalian</a>, dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembagian&action=edit&redlink=1" title="Pembagian (halaman belum tersedia)">pembagian</a>) mengikuti secara alami.<br />
Langkah selanjutnya memerlukan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Menulis" title="Menulis">penulisan</a> atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Tali&action=edit&redlink=1" title="Tali (halaman belum tersedia)">tali</a> atau dawai bersimpul yang disebut <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Quipu" title="Quipu">quipu</a> dipakai oleh bangsa <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Inca" title="Inca">Inca</a> untuk menyimpan data numerik. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_bilangan" title="Sistem bilangan">Sistem bilangan</a> ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mesir_Kuno" title="Mesir Kuno">Mesir Kuno</a> di <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kerajaan_Tengah_Mesir&action=edit&redlink=1" title="Kerajaan Tengah Mesir (halaman belum tersedia)">Kerajaan Tengah Mesir</a>, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lembaran_Matematika_Rhind&action=edit&redlink=1" title="Lembaran Matematika Rhind (halaman belum tersedia)">Lembaran Matematika Rhind</a>.<br />
<div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width: 222px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Maya.svg"><img alt="" class="thumbimage" height="254" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Maya.svg/220px-Maya.svg.png" width="220" /></a><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Maya.svg" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_bilangan_Maya&action=edit&redlink=1" title="Sistem bilangan Maya (halaman belum tersedia)">Sistem bilangan Maya</a></div></div></div>Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perdagangan" title="Perdagangan">perdagangan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pengukuran_tanah" title="Pengukuran tanah">pengukuran tanah</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lukisan" title="Lukisan">pelukisan</a>, dan pola-pola <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Menenun" title="Menenun">penenunan</a> dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Babilonia" title="Babilonia">Babilonia</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mesir_Kuno" title="Mesir Kuno">Mesir Kuno</a> mulai menggunakan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika">aritmetika</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar" title="Aljabar">aljabar</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">geometri</a> untuk penghitungan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pajak" title="Pajak">pajak</a> dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi" title="Astronomi">astronomi</a>.<sup class="reference" id="cite_ref-10"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-10">[11]</a></sup> Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.<br />
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sains" title="Sains">sains</a>, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bulletin_of_the_American_Mathematical_Society&action=edit&redlink=1" title="Bulletin of the American Mathematical Society (halaman belum tersedia)">Bulletin of the American Mathematical Society</a>, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1" title="Mathematical Reviews (halaman belum tersedia)">Mathematical Reviews</a> sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema">teorema</a> matematika baru beserta <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pembuktian_Matematika" title="Pembuktian Matematika">bukti-buktinya</a>."<sup class="reference" id="cite_ref-11"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-11">[12]</a></sup><br />
<h2><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=3" title="Sunting bagian: Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Ilham.2C_matematika_murni_dan_terapan.2C_dan_estetika">Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika</span></h2><div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width: 222px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg"><img alt="" class="thumbimage" height="302" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg/220px-GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg" width="220" /></a><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>Sir <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> (1643-1727), seorang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Penemu" title="Penemu">penemu</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">kalkulus infinitesimal</a>.</div></div></div><div class="dablink noprint"><img alt="!" height="20" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Crystal_Clear_app_xmag.png/20px-Crystal_Clear_app_xmag.png" width="20" />Artikel utama untuk bagian ini adalah: <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keindahan_matematika&action=edit&redlink=1" title="Keindahan matematika (halaman belum tersedia)">Keindahan matematika</a></div>Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perdagangan" title="Perdagangan">perdagangan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pengukuran_tanah" title="Pengukuran tanah">pengukuran tanah</a>, dan kemudian <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi" title="Astronomi">astronomi</a>; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisikawan" title="Fisikawan">fisikawan</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a> menemukan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rumus_integral_lintasan&action=edit&redlink=1" title="Rumus integral lintasan (halaman belum tersedia)">rumus integral lintasan</a> <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum" title="Mekanika kuantum">mekanika kuantum</a> menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_dawai" title="Teori dawai">teori dawai</a> masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Interaksi_dasar" title="Interaksi dasar">gaya dasar alami</a>, terus saja mengilhami matematika baru.<sup class="reference" id="cite_ref-12"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-12">[13]</a></sup> Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Eugene_Wigner" title="Eugene Wigner">Eugene Wigner</a> memanggilnya sebagai "<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketidakefektifan_Matematika_tak_ternalar_di_dalam_Ilmu_Pengetahuan_Alam&action=edit&redlink=1" title="Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam (halaman belum tersedia)">Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam</a>".<sup class="reference" id="cite_ref-13"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-13">[14]</a></sup><br />
Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_murni" title="Matematika murni">matematika murni</a> dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_terapan&action=edit&redlink=1" title="Matematika terapan (halaman belum tersedia)">matematika terapan</a>: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sarjana" title="Sarjana">sarjana</a> mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika" title="Statistika">statistika</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Riset_operasi" title="Riset operasi">riset operasi</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_komputer" title="Ilmu komputer">ilmu komputer</a>.<br />
Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang <i>keanggunan</i> matematika, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Estetika" title="Estetika">estetika</a> yang tersirat, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Keindahan" title="Keindahan">keindahan</a> dari dalamnya. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kesederhanaan&action=edit&redlink=1" title="Kesederhanaan (halaman belum tersedia)">Kesederhanaan</a> dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Bukti (matematika) (halaman belum tersedia)">bukti</a> yang diberikan, semisal bukti <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Euclid" title="Euclid">Euclid</a> yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima" title="Bilangan prima">bilangan prima</a>, dan di dalam <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Metode_numerik&action=edit&redlink=1" title="Metode numerik (halaman belum tersedia)">metode numerik</a> yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Transformasi_Fourier_cepat" title="Transformasi Fourier cepat">transformasi Fourier cepat</a>. <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy" title="G. H. Hardy">G. H. Hardy</a> di dalam <i><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology" title="A Mathematician's Apology">A Mathematician's Apology</a></i> mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.<sup class="reference" id="cite_ref-14"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-14">[15]</a></sup> Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Paul_Erd%C5%91s&action=edit&redlink=1" title="Paul Erdős (halaman belum tersedia)">Paul Erdős</a> sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Alkitab" title="Alkitab">Alkitab</a>" di mana <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tuhan" title="Tuhan">Tuhan</a> telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.<sup class="reference" id="cite_ref-15"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-15">[16]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-16"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-16">[17]</a></sup> Kepopularan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_rekreasi&action=edit&redlink=1" title="Matematika rekreasi (halaman belum tersedia)">matematika rekreasi</a> adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.<br />
<h2><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=4" title="Sunting bagian: Notasi, bahasa, dan kekakuan">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Notasi.2C_bahasa.2C_dan_kekakuan">Notasi, bahasa, dan kekakuan</span></h2><div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width: 222px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Leonhard_Euler_2.jpg"><img alt="" class="thumbimage" height="275" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Leonhard_Euler_2.jpg/220px-Leonhard_Euler_2.jpg" width="220" /></a><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Leonhard_Euler_2.jpg" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa</div></div></div><div class="dablink noprint"><img alt="!" height="20" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Crystal_Clear_app_xmag.png/20px-Crystal_Clear_app_xmag.png" width="20" />Artikel utama untuk bagian ini adalah: <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Notasi_matematika" title="Notasi matematika">Notasi matematika</a></div>Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.<sup class="reference" id="cite_ref-17"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-17">[18]</a></sup> Pada abad ke-18, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a> bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Notasi_musik" title="Notasi musik">notasi musik</a>, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.<br />
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa" title="Bahasa">Bahasa</a> matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti <i>atau</i> dan <i>hanya</i> memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal <i><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Himpunan_terbuka&action=edit&redlink=1" title="Himpunan terbuka (halaman belum tersedia)">terbuka</a></i> dan <i><a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lapangan_%28matematika%29" title="Lapangan (matematika)">lapangan</a></i> memberikan arti khusus matematika. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Jargon_matematika&action=edit&redlink=1" title="Jargon matematika (halaman belum tersedia)">Jargon matematika</a> termasuk istilah-istilah teknis semisal <i><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Homomorfisme&action=edit&redlink=1" title="Homomorfisme (halaman belum tersedia)">homomorfisme</a></i> dan <i><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keterintegralan&action=edit&redlink=1" title="Keterintegralan (halaman belum tersedia)">terintegralkan</a></i>. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (<i>rigor</i>).<br />
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width: 222px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Infinity_symbol.svg"><img alt="" class="thumbimage" height="249" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Infinity_symbol.svg/220px-Infinity_symbol.svg.png" width="220" /></a><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Infinity_symbol.svg" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>Lambang <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketakhinggaan&action=edit&redlink=1" title="Ketakhinggaan (halaman belum tersedia)">ketakhinggaan</a> <b>∞</b> di dalam beberapa gaya sajian.</div></div></div><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kekakuan_matematika" title="Kekakuan matematika">Kaku</a> secara mendasar adalah tentang <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_matematika&action=edit&redlink=1" title="Bukti matematika (halaman belum tersedia)">bukti matematika</a>. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema" title="Teorema">teorema</a>" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.<sup class="reference" id="cite_ref-18"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-18">[19]</a></sup> Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bangsa_Yunani" title="Bangsa Yunani">bangsa Yunani</a> menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti_berbantuan-komputer&action=edit&redlink=1" title="Bukti berbantuan-komputer (halaman belum tersedia)">bukti berbantuan-komputer</a>. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.<sup class="reference" id="cite_ref-19"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-19">[20]</a></sup><br />
<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aksioma" title="Aksioma">Aksioma</a> menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Logika_simbolik&action=edit&redlink=1" title="Logika simbolik (halaman belum tersedia)">lambang</a>, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_aksioma&action=edit&redlink=1" title="Sistem aksioma (halaman belum tersedia)">sistem aksioma</a>. Inilah tujuan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Program_Hilbert&action=edit&redlink=1" title="Program Hilbert (halaman belum tersedia)">program Hilbert</a> untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_ketaklengkapan_G%C3%B6del&action=edit&redlink=1" title="Teorema ketaklengkapan Gödel (halaman belum tersedia)">Teorema ketaklengkapan Gödel</a> tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kebebasan_%28logika_matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Kebebasan (logika matematika) (halaman belum tersedia)">tidak dapat ditentukan</a>; dan oleh karena itulah suatu <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aksiomatisasi&action=edit&redlink=1" title="Aksiomatisasi (halaman belum tersedia)">aksiomatisasi</a> terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan">teori himpunan</a> di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.<sup class="reference" id="cite_ref-20"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-20">[21]</a></sup><br />
<h2><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=5" title="Sunting bagian: Matematika sebagai ilmu pengetahuan">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Matematika_sebagai_ilmu_pengetahuan">Matematika sebagai ilmu pengetahuan</span></h2><div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width: 222px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Carl_Friedrich_Gauss.jpg"><img alt="" class="thumbimage" height="282" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg/220px-Carl_Friedrich_Gauss.jpg" width="220" /></a><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Carl_Friedrich_Gauss.jpg" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a>, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".</div></div></div><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Carl Friedrich Gauss</a> mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".<sup class="reference" id="cite_ref-21"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-21">[22]</a></sup> Di dalam bahasa aslinya, Latin <i>Regina Scientiarum</i>, juga di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Jerman" title="Bahasa Jerman">bahasa Jerman</a> <i>Königin der Wissenschaften</i>, kata yang bersesuaian dengan <i>ilmu pengetahuan</i> berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan <i>alam</i> adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_pengetahuan" title="Ilmu pengetahuan">ilmu pengetahuan</a> hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_murni" title="Matematika murni">matematika murni</a>, bukanlah ilmu pengetahuan. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> menyatakan bahwa <i>"sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.</i>"<sup class="reference" id="cite_ref-certain_5-1"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-certain-5">[6]</a></sup><br />
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Keterpalsuan&action=edit&redlink=1" title="Keterpalsuan (halaman belum tersedia)">terpalsukan</a> berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Karl_Popper" title="Karl Popper">Karl Popper</a>.<sup class="reference" id="cite_ref-22"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-22">[23]</a></sup> Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika" title="Fisika">fisika</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Biologi" title="Biologi">biologi</a>, adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hipotesis" title="Hipotesis">hipotetis</a>-<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Deduktif&action=edit&redlink=1" title="Deduktif (halaman belum tersedia)">deduktif</a>: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."<sup class="reference" id="cite_ref-23"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-23">[24]</a></sup> Para bijak bestari lainnya, sebut saja <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Imre_Lakatos&action=edit&redlink=1" title="Imre Lakatos (halaman belum tersedia)">Imre Lakatos</a>, telah menerapkan satu versi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Pemalsuan" title="Pemalsuan">pemalsuan</a> kepada matematika itu sendiri.<br />
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika_teoretis" title="Fisika teoretis">fisika teoretis</a>) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=J._M._Ziman&action=edit&redlink=1" title="J. M. Ziman (halaman belum tersedia)">J. M. Ziman</a>, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah <i>pengetahuan umum</i> dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.<sup class="reference" id="cite_ref-24"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-24">[25]</a></sup> Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Intuisi_%28pengetahuan%29&action=edit&redlink=1" title="Intuisi (pengetahuan) (halaman belum tersedia)">Intuisi</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Percobaan" title="Percobaan">percobaan</a> juga berperan penting di dalam perumusan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Konjektur" title="Konjektur">konjektur</a>-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_percobaan&action=edit&redlink=1" title="Matematika percobaan (halaman belum tersedia)">Matematika percobaan</a> terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_ilmiah" title="Metode ilmiah">metode ilmiah</a>. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 <i><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=A_New_Kind_of_Science&action=edit&redlink=1" title="A New Kind of Science (halaman belum tersedia)">A New Kind of Science</a></i>, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Stephen_Wolfram&action=edit&redlink=1" title="Stephen Wolfram (halaman belum tersedia)">Stephen Wolfram</a> berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Empirik" title="Empirik">empirik</a> sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.<br />
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Seni_liberal&action=edit&redlink=1" title="Seni liberal (halaman belum tersedia)">seni liberal</a> tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Rekayasa" title="Rekayasa">rekayasa</a> telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika. Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika <i>diciptakan</i> (seperti di dalam seni) atau <i>ditemukan</i> (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Universitas" title="Universitas">universitas</a> bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen <i>Ilmu Pengetahuan dan Matematika</i>, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Filsafat_matematika" title="Filsafat matematika">filsafat matematika</a>.<br />
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fields_Medal&action=edit&redlink=1" title="Fields Medal (halaman belum tersedia)">Fields Medal</a> (medali lapangan),<sup class="reference" id="cite_ref-25"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-25">[26]</a></sup><sup class="reference" id="cite_ref-26"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-26">[27]</a></sup> dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Hadiah_Nobel" title="Hadiah Nobel">Hadiah Nobel</a> ilmu pengetahuan. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Wolf_Prize_in_Mathematics&action=edit&redlink=1" title="Wolf Prize in Mathematics (halaman belum tersedia)">Wolf Prize in Mathematics</a>, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hadiah_Abel&action=edit&redlink=1" title="Hadiah Abel (halaman belum tersedia)">Hadiah Abel</a>, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Masalah_terbuka" title="Masalah terbuka">masalah terbuka</a>, yang disebut "<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah_Hilbert&action=edit&redlink=1" title="Masalah Hilbert (halaman belum tersedia)">masalah Hilbert</a>", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a>. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah_Hadiah_Milenium&action=edit&redlink=1" title="Masalah Hadiah Milenium (halaman belum tersedia)">Masalah Hadiah Milenium</a>", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Dollar_Amerika_Serikat" title="Dollar Amerika Serikat">US$</a> 1 juta, dan hanya satu (<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hipotesis_Riemann&action=edit&redlink=1" title="Hipotesis Riemann (halaman belum tersedia)">hipotesis Riemann</a>) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.<br />
<h2><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=6" title="Sunting bagian: Bidang-bidang matematika">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Bidang-bidang_matematika">Bidang-bidang matematika</span></h2><div class="thumb tright"><div class="thumbinner" style="width: 222px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Abacus_6.png"><img alt="" class="thumbimage" height="129" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Abacus_6.png/220px-Abacus_6.png" width="220" /></a><div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a class="internal" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Abacus_6.png" title="Perbesar"><img alt="" height="11" src="http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png" width="15" /></a></div>Sebuah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sempoa" title="Sempoa">sempoa</a>, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.</div></div></div>Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Astronomi" title="Astronomi">astronomi</a>. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika">aritmetika</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar" title="Aljabar">aljabar</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">geometri</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematika" title="Analisis matematika">analisis</a>). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika" title="Logika matematika">logika</a>, ke <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan">teori himpunan</a> (<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Dasar-dasar_matematika&action=edit&redlink=1" title="Dasar-dasar matematika (halaman belum tersedia)">dasar</a>), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_terapan&action=edit&redlink=1" title="Matematika terapan (halaman belum tersedia)">matematika terapan</a>), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ketakpastian" title="Ketakpastian">ketakpastian</a>.<br />
<h3><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=7" title="Sunting bagian: Besaran">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Besaran">Besaran</span></h3>Pengkajian besaran dimulakan dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan" title="Bilangan">bilangan</a>, pertama <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_asli" title="Bilangan asli">bilangan asli</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat" title="Bilangan bulat">bilangan bulat</a> ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aritmetika" title="Aritmetika">aritmetika</a>. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_bilangan" title="Teori bilangan">teori bilangan</a>, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Terakhir_Fermat" title="Teorema Terakhir Fermat">Teorema Terakhir Fermat</a>. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjektur_prima_kembar&action=edit&redlink=1" title="Konjektur prima kembar (halaman belum tersedia)">konjektur prima kembar</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Konjektur_Goldbach" title="Konjektur Goldbach">konjektur Goldbach</a>.<br />
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Himpunan_bagian&action=edit&redlink=1" title="Himpunan bagian (halaman belum tersedia)">himpunan bagian</a> dari <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasional" title="Bilangan rasional">bilangan rasional</a> ("<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pecahan_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Pecahan (matematika) (halaman belum tersedia)">pecahan</a>"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_real" title="Bilangan real">bilangan real</a>, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_kontinu" title="Fungsi kontinu">kontinu</a>. Bilangan real diperumum menjadi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks" title="Bilangan kompleks">bilangan kompleks</a>. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kuarternion&action=edit&redlink=1" title="Kuarternion (halaman belum tersedia)">kuarternion</a> dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Oktonion&action=edit&redlink=1" title="Oktonion (halaman belum tersedia)">oktonion</a>. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_transfinit&action=edit&redlink=1" title="Bilangan transfinit (halaman belum tersedia)">bilangan transfinit</a>, yang memformalkan konsep pencacahan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ketakhinggaan&action=edit&redlink=1" title="Ketakhinggaan (halaman belum tersedia)">ketakhinggaan</a>. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_kardinal&action=edit&redlink=1" title="Bilangan kardinal (halaman belum tersedia)">bilangan kardinal</a> dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan_aleph&action=edit&redlink=1" title="Bilangan aleph (halaman belum tersedia)">bilangan aleph</a>, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.<br />
<dl><dd><table cellspacing="20" style="border: 1px solid rgb(221, 221, 221); margin: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><img alt="1, 2, 3\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/3/6/136af90c7359909a518275461dbf3205.png" /></td><td><img alt="-2, -1, 0, 1, 2\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/c/9/cc9adac9d1c4e46a21b648b732c2d77e.png" /></td><td><img alt=" -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/b/6/9b6892bffb24f4e8eb088036e5f7efff.png" /></td><td><img alt="-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/d/6/9d6f418bda5bf70193627a3ee78805f4.png" /></td><td><img alt="2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/5/9/759cf14c729639e5c1152dad2c4843e7.png" /></td></tr>
<tr><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_asli" title="Bilangan asli">Bilangan asli</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat" title="Bilangan bulat">Bilangan bulat</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_rasional" title="Bilangan rasional">Bilangan rasional</a></td><td><a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_real" title="Bilangan real">Bilangan real</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks" title="Bilangan kompleks">Bilangan kompleks</a></td></tr>
</tbody></table></dd></dl><h3><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=8" title="Sunting bagian: Ruang">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Ruang">Ruang</span></h3>Pengkajian ruang bermula dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">geometri</a> – khususnya, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_euclid&action=edit&redlink=1" title="Geometri euclid (halaman belum tersedia)">geometri euclid</a>. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri" title="Trigonometri">Trigonometri</a> memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_pitagoras&action=edit&redlink=1" title="Teorema pitagoras (halaman belum tersedia)">Teorema pitagoras</a> yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_tak-euclid&action=edit&redlink=1" title="Geometri tak-euclid (halaman belum tersedia)">geometri tak-euclid</a> (yang berperan penting di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Relativitas_umum" title="Relativitas umum">relativitas umum</a>) dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Topologi" title="Topologi">topologi</a>. Besaran dan ruang berperan penting di dalam <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_analitik&action=edit&redlink=1" title="Geometri analitik (halaman belum tersedia)">geometri analitik</a>, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_diferensial&action=edit&redlink=1" title="Geometri diferensial (halaman belum tersedia)">geometri diferensial</a>, dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_aljabar&action=edit&redlink=1" title="Geometri aljabar (halaman belum tersedia)">geometri aljabar</a>. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Buntelan_serat&action=edit&redlink=1" title="Buntelan serat (halaman belum tersedia)">buntelan serat</a> dan kalkulus <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Lipatan&action=edit&redlink=1" title="Lipatan (halaman belum tersedia)">lipatan</a>. Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinom&action=edit&redlink=1" title="Polinom (halaman belum tersedia)">polinom</a>, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup_topologi&action=edit&redlink=1" title="Grup topologi (halaman belum tersedia)">grup topologi</a>, yang memadukan struktur dan ruang. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Grup_lie&action=edit&redlink=1" title="Grup lie (halaman belum tersedia)">Grup lie</a> biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Topologi" title="Topologi">Topologi</a> di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konjektur_poincar%C3%A9&action=edit&redlink=1" title="Konjektur poincaré (halaman belum tersedia)">konjektur poincaré</a> yang telah lama ada dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_empat_warna&action=edit&redlink=1" title="Teorema empat warna (halaman belum tersedia)">teorema empat warna</a>, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.<br />
<dl><dd><table cellspacing="15" style="border: 1px solid rgb(221, 221, 221); margin: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg"><img alt="Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg" height="104" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg/96px-Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Sine_cosine_plot.svg"><img alt="Sine cosine plot.svg" height="64" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Sine_cosine_plot.svg/96px-Sine_cosine_plot.svg.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Hyperbolic_triangle.svg"><img alt="Hyperbolic triangle.svg" height="64" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/89/Hyperbolic_triangle.svg/96px-Hyperbolic_triangle.svg.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Torus.png"><img alt="Torus.png" height="61" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Torus.png/96px-Torus.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Mandel_zoom_07_satellite.jpg"><img alt="Mandel zoom 07 satellite.jpg" height="72" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Mandel_zoom_07_satellite.jpg/96px-Mandel_zoom_07_satellite.jpg" width="96" /></a></td></tr>
<tr><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri" title="Geometri">Geometri</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri" title="Trigonometri">Trigonometri</a></td><td><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri_diferensial&action=edit&redlink=1" title="Geometri diferensial (halaman belum tersedia)">Geometri diferensial</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Topologi" title="Topologi">Topologi</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fraktal" title="Fraktal">Geometri fraktal</a></td></tr>
</tbody></table></dd></dl><h3><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=9" title="Sunting bagian: Perubahan">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Perubahan">Perubahan</span></h3>Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_pengetahuan_alam" title="Ilmu pengetahuan alam">ilmu pengetahuan alam</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">kalkulus</a> telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29" title="Fungsi (matematika)">Fungsi-fungsi</a> muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_real" title="Bilangan real">bilangan real</a> dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_real&action=edit&redlink=1" title="Analisis real (halaman belum tersedia)">analisis real</a>, dengan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_kompleks&action=edit&redlink=1" title="Analisis kompleks (halaman belum tersedia)">analisis kompleks</a> lapangan yang setara untuk <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks" title="Bilangan kompleks">bilangan kompleks</a>. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hipotesis_Riemann&action=edit&redlink=1" title="Hipotesis Riemann (halaman belum tersedia)">Hipotesis Riemann</a>, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_fungsional&action=edit&redlink=1" title="Analisis fungsional (halaman belum tersedia)">Analisis fungsional</a> memusatkan perhatian pada <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang" title="Ruang">ruang</a> fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum" title="Mekanika kuantum">mekanika kuantum</a>. Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial" title="Persamaan diferensial">persamaan diferensial</a>. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_dinamika&action=edit&redlink=1" title="Sistem dinamika (halaman belum tersedia)">sistem dinamika</a>; <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_kekacauan&action=edit&redlink=1" title="Teori kekacauan (halaman belum tersedia)">teori kekacauan</a> mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_deterministik_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Sistem deterministik (matematika) (halaman belum tersedia)">deterministik</a> yang masih saja belum terdugakan.<br />
<table cellspacing="20" style="border: 1px solid rgb(221, 221, 221); margin: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Integral_as_region_under_curve.svg"><img alt="Integral as region under curve.svg" height="84" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/96px-Integral_as_region_under_curve.svg.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Vector_field.svg"><img alt="Vector field.svg" height="96" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Vector_field.svg/96px-Vector_field.svg.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Airflow-Obstructed-Duct.png"><img alt="Airflow-Obstructed-Duct.png" height="69" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Airflow-Obstructed-Duct.png/96px-Airflow-Obstructed-Duct.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Limitcycle.jpg"><img alt="Limitcycle.jpg" height="72" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Limitcycle.jpg/96px-Limitcycle.jpg" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Lorenz_attractor.svg"><img alt="Lorenz attractor.svg" height="96" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Lorenz_attractor.svg/96px-Lorenz_attractor.svg.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Princ_argument_ex1.png"><img alt="Princ argument ex1.png" height="75" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/Princ_argument_ex1.png/96px-Princ_argument_ex1.png" width="96" /></a></td></tr>
<tr><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus">Kalkulus</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_vektor" title="Kalkulus vektor">Kalkulus vektor</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial" title="Persamaan diferensial">Persamaan diferensial</a></td><td><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_dinamika&action=edit&redlink=1" title="Sistem dinamika (halaman belum tersedia)">Sistem dinamika</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_chaos" title="Teori chaos">Teori chaos</a></td><td><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Analisis_kompleks&action=edit&redlink=1" title="Analisis kompleks (halaman belum tersedia)">Analisis kompleks</a></td></tr>
</tbody></table><h3><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=10" title="Sunting bagian: Struktur">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Struktur">Struktur</span></h3>Banyak objek matematika, semisal <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_%28matematika%29" title="Himpunan (matematika)">himpunan</a> bilangan dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29" title="Fungsi (matematika)">fungsi</a>, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Grup_%28matematika%29" title="Grup (matematika)">grup</a>, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelanggang_%28matematika%29&action=edit&redlink=1" title="Gelanggang (matematika) (halaman belum tersedia)">gelanggang</a>, <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Lapangan_%28matematika%29" title="Lapangan (matematika)">lapangan</a> dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_abstrak" title="Aljabar abstrak">aljabar abstrak</a>. Sebuah konsep penting di sini yakni <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Vektor_%28geometri%29" title="Vektor (geometri)">vektor</a>, diperumum menjadi <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ruang_vektor" title="Ruang vektor">ruang vektor</a>, dan dikaji di dalam <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear" title="Aljabar linear">aljabar linear</a>. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_vektor" title="Kalkulus vektor">Kalkulus vektor</a> memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus_tensor&action=edit&redlink=1" title="Kalkulus tensor (halaman belum tersedia)">Kalkulus tensor</a> mengkaji <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kesetangkupan" title="Kesetangkupan">kesetangkupan</a> dan perilaku vektor yang di<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Rotasi" title="Rotasi">rotasi</a>. Sejumlah masalah kuno tentang <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kompas_dan_konstruksi_garis_lurus&action=edit&redlink=1" title="Kompas dan konstruksi garis lurus (halaman belum tersedia)">Kompas dan konstruksi garis lurus</a> akhirnya terpecahkan oleh <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_galois&action=edit&redlink=1" title="Teori galois (halaman belum tersedia)">Teori galois</a>.<br />
<dl><dd><table cellspacing="15" style="border: 1px solid rgb(221, 221, 221); margin: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Elliptic_curve_simple.svg"><img alt="Elliptic curve simple.svg" height="107" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Elliptic_curve_simple.svg/96px-Elliptic_curve_simple.svg.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Rubik%27s_cube.svg"><img alt="Rubik's cube.svg" height="100" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Rubik%27s_cube.svg/96px-Rubik%27s_cube.svg.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Group_diagdram_D6.svg"><img alt="Group diagdram D6.svg" height="96" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Group_diagdram_D6.svg/96px-Group_diagdram_D6.svg.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg"><img alt="Lattice of the divisibility of 60.svg" height="77" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg/96px-Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg.png" width="96" /></a></td></tr>
<tr><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_bilangan" title="Teori bilangan">Teori bilangan</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_abstrak" title="Aljabar abstrak">Aljabar abstrak</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_grup" title="Teori grup">Teori grup</a></td><td><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_orde&action=edit&redlink=1" title="Teori orde (halaman belum tersedia)">Teori orde</a></td></tr>
</tbody></table></dd></dl><h3><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=11" title="Sunting bagian: Dasar dan filsafat">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Dasar_dan_filsafat">Dasar dan filsafat</span></h3>Untuk memeriksa <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Dasar-dasar_matematika&action=edit&redlink=1" title="Dasar-dasar matematika (halaman belum tersedia)">dasar-dasar matematika</a>, lapangan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika" title="Logika matematika">logika matematika</a> dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan">teori himpunan</a> dikembangkan, juga <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_kategori" title="Teori kategori">teori kategori</a> yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Dasawarsa" title="Dasawarsa">dasawarsa</a> 1900-an sampai 1930-an.<sup class="reference" id="cite_ref-27"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-27">[28]</a></sup> Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kontroversi_teori_Cantor&action=edit&redlink=1" title="Kontroversi teori Cantor (halaman belum tersedia)">kontroversi teori himpunan Cantor</a> dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kontroversi_Brouwer-Hilbert&action=edit&redlink=1" title="Kontroversi Brouwer-Hilbert (halaman belum tersedia)">kontroversi Brouwer-Hilbert</a>.<br />
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aksiom&action=edit&redlink=1" title="Aksiom (halaman belum tersedia)">aksiomatis</a> yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_ketaklengkapan_G%C3%B6del&action=edit&redlink=1" title="Teori ketaklengkapan Gödel (halaman belum tersedia)">Teori ketaklengkapan kedua Gödel</a>, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_formal&action=edit&redlink=1" title="Sistem formal (halaman belum tersedia)">sistem formal</a> yang berisi aritmetika dasar, jika <i>suara</i> (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka <i>tak-lengkap</i> (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan <i>di dalam sistem itu</i>). Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sembarang&action=edit&redlink=1" title="Sembarang (halaman belum tersedia)">sembarang</a> kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_rekursi&action=edit&redlink=1" title="Teori rekursi (halaman belum tersedia)">teori rekursi</a>, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_model&action=edit&redlink=1" title="Teori model (halaman belum tersedia)">teori model</a>, dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_pembuktian&action=edit&redlink=1" title="Teori pembuktian (halaman belum tersedia)">teori pembuktian</a>, dan terpaut dekat dengan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_komputer" title="Ilmu komputer">ilmu komputer</a> <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ilmu_komputer_teoretis&action=edit&redlink=1" title="Ilmu komputer teoretis (halaman belum tersedia)">teoretis</a>.<br />
<dl><dd><table cellspacing="15" style="border: 1px solid rgb(221, 221, 221); margin: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><img alt=" p \Rightarrow q \," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/6/4/a644166cefb23015623cb1670becf7b2.png" /></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Venn_A_intersect_B.svg"><img alt="Venn A intersect B.svg" height="84" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/128px-Venn_A_intersect_B.svg.png" width="128" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Commutative_diagram_for_morphism.svg"><img alt="Commutative diagram for morphism.svg" height="96" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Commutative_diagram_for_morphism.svg/96px-Commutative_diagram_for_morphism.svg.png" width="96" /></a></td></tr>
<tr><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika" title="Logika matematika">Logika matematika</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_himpunan" title="Teori himpunan">Teori himpunan</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_kategori" title="Teori kategori">Teori kategori</a></td><td><br />
</td></tr>
</tbody></table></dd></dl><h3><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=12" title="Sunting bagian: Matematika diskret">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Matematika_diskret">Matematika diskret</span></h3><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_diskret" title="Matematika diskret">Matematika diskret</a> adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ilmu_komputer_teoretis&action=edit&redlink=1" title="Ilmu komputer teoretis (halaman belum tersedia)">ilmu komputer teoretis</a>. Ini menyertakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_komputabilitas_%28komputasi%29&action=edit&redlink=1" title="Teori komputabilitas (komputasi) (halaman belum tersedia)">teori komputabilitas</a>, <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_kompleksitas_komputasional&action=edit&redlink=1" title="Teori kompleksitas komputasional (halaman belum tersedia)">teori kompleksitas komputasional</a>, dan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_informasi" title="Teori informasi">teori informasi</a>. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mesin_turing" title="Mesin turing">Mesin turing</a>. Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Perangkat_keras" title="Perangkat keras">perangkat keras</a> komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pemadatan_data&action=edit&redlink=1" title="Pemadatan data (halaman belum tersedia)">pemadatan</a> dan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Entropi_%28teori_informasi&action=edit&redlink=1" title="Entropi (teori informasi (halaman belum tersedia)">entropi</a>.<br />
Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah_P_%3D_NP&action=edit&redlink=1" title="Masalah P = NP (halaman belum tersedia)">P=NP?</a>", salah satu <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah_Hadiah_Milenium&action=edit&redlink=1" title="Masalah Hadiah Milenium (halaman belum tersedia)">Masalah Hadiah Milenium</a>.<sup class="reference" id="cite_ref-28"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika#cite_note-28">[29]</a></sup><br />
<dl><dd><table cellspacing="15" style="border: 1px solid rgb(221, 221, 221); margin: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td><img alt="\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/c/a/bca5b51d15b30266dc37decb94175dc2.png" /></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:DFAexample.svg"><img alt="DFAexample.svg" height="57" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/DFAexample.svg/96px-DFAexample.svg.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Caesar3.svg"><img alt="Caesar3.svg" height="40" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Caesar3.svg/96px-Caesar3.svg.png" width="96" /></a></td><td><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:6n-graf.svg"><img alt="6n-graf.svg" height="63" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5b/6n-graf.svg/96px-6n-graf.svg.png" width="96" /></a></td></tr>
<tr><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika">Kombinatorika</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_komputasi" title="Teori komputasi">Teori komputasi</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kriptografi" title="Kriptografi">Kriptografi</a></td><td><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_graf" title="Teori graf">Teori graf</a></td></tr>
</tbody></table></dd></dl><h3><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=13" title="Sunting bagian: Matematika terapan">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Matematika_terapan">Matematika terapan</span></h3><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_terapan&action=edit&redlink=1" title="Matematika terapan (halaman belum tersedia)">Matematika terapan</a> berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Ilmu_pengetahuan" title="Ilmu pengetahuan">ilmu pengetahuan</a>, <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Bisnis" title="Bisnis">bisnis</a>, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika" title="Statistika">statistika</a>, yang menggunakan <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_peluang&action=edit&redlink=1" title="Teori peluang (halaman belum tersedia)">teori peluang</a> sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana <a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Probabilitas" title="Probabilitas">peluang</a> berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Statistikawan" title="Statistikawan">statistikawan</a>, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.) <a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_numerik" title="Analisis numerik">Analisis numerik</a> menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia; analisis numerik melibatkan pengkajian <a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Galat_pemotongan&action=edit&redlink=1" title="Galat pemotongan (halaman belum tersedia)">galat pemotongan</a> atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.<br />
<center><table cellpadding="0" cellspacing="0" class="gallery"><tbody>
<tr><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 33px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Gravitation_space_source.png"><img alt="" height="80" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Gravitation_space_source.png/120px-Gravitation_space_source.png" width="120" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Fisika_matematika&action=edit&redlink=1" title="Fisika matematika (halaman belum tersedia)">Fisika matematika</a></center></div></div></td><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 45px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:BernoullisLawDerivationDiagram.svg"><img alt="" height="56" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/BernoullisLawDerivationDiagram.svg/120px-BernoullisLawDerivationDiagram.svg.png" width="120" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_fluida" title="Mekanika fluida">Mekanika fluida</a></center></div></div></td><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 33px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.svg"><img alt="" height="80" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.svg/120px-Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.svg.png" width="120" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_numerik" title="Analisis numerik">Analisis numerik</a></center></div></div></td><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 16px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Maximum_boxed.png"><img alt="" height="113" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Maximum_boxed.png/120px-Maximum_boxed.png" width="120" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Optimisasi_%28matematika%29" title="Optimisasi (matematika)">Optimisasi</a></center></div></div></td></tr>
<tr><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 34px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Two_red_dice_01.svg"><img alt="" height="77" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/Two_red_dice_01.svg/120px-Two_red_dice_01.svg.png" width="120" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_peluang&action=edit&redlink=1" title="Teori peluang (halaman belum tersedia)">Teori peluang</a></center></div></div></td><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 13px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Oldfaithful3.png"><img alt="" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Oldfaithful3.png/120px-Oldfaithful3.png" width="120" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Statistika" title="Statistika">Statistika</a></center></div></div></td><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 33px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Market_Data_Index_NYA_on_20050726_202628_UTC.png"><img alt="" height="80" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Market_Data_Index_NYA_on_20050726_202628_UTC.png/120px-Market_Data_Index_NYA_on_20050726_202628_UTC.png" width="120" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika_keuangan&action=edit&redlink=1" title="Matematika keuangan (halaman belum tersedia)">Matematika keuangan</a></center></div></div></td><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 32px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Arbitrary-gametree-solved.svg"><img alt="" height="82" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Arbitrary-gametree-solved.svg/120px-Arbitrary-gametree-solved.svg.png" width="120" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_permainan" title="Teori permainan">Teori permainan</a></center></div></div></td></tr>
<tr><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 29px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Signal_transduction_v1.png"><img alt="" height="88" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Signal_transduction_v1.png/120px-Signal_transduction_v1.png" width="120" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Biologi_matematika&action=edit&redlink=1" title="Biologi matematika (halaman belum tersedia)">Biologi matematika</a></center></div></div></td><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 13px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Ch4-structure.png"><img alt="" height="120" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Ch4-structure.png/116px-Ch4-structure.png" width="116" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kimia_matematika" title="Kimia matematika">Kimia matematika</a></center></div></div></td><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 45px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:GDP_PPP_Per_Capita_IMF_2008.png"><img alt="" height="55" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/GDP_PPP_Per_Capita_IMF_2008.png/120px-GDP_PPP_Per_Capita_IMF_2008.png" width="120" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ekonomi_matematika&action=edit&redlink=1" title="Ekonomi matematika (halaman belum tersedia)">Ekonomi matematika</a></center></div></div></td><td><div class="gallerybox" style="width: 155px;"><div class="thumb" style="padding: 52px 0pt; width: 150px;"><div style="margin-left: auto; margin-right: auto; width: 120px;"><a class="image" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Simple_feedback_control_loop2.png"><img alt="" height="41" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Simple_feedback_control_loop2.png/120px-Simple_feedback_control_loop2.png" width="120" /></a></div></div><div class="gallerytext"><center><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_kontrol&action=edit&redlink=1" title="Teori kontrol (halaman belum tersedia)">Teori kontrol</a></center></div></div></td></tr>
</tbody></table></center><h2><span class="editsection">[<a href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&section=14" title="Sunting bagian: Lihat pula">sunting</a>]</span> <span class="mw-headline" id="Lihat_pula">Lihat pula</span></h2>tri wibowohttp://www.blogger.com/profile/17618476450508671587noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1512734783451221834.post-48788552142093693592010-11-29T04:54:00.001-08:002010-11-29T04:54:27.715-08:00tri wibowohttp://www.blogger.com/profile/17618476450508671587noreply@blogger.com0